kumpulan soal matematika tentang pernyataan majemuk konjungsi dan disjungsi

ANDES NIRVANA IMANDIKA

X-F   /   04

REMIDIAL MATEMATIKA

SEMESTER II

SMAN 1 TUREN

BAB

Pernyataan Majemuk

Konjungsi

Dan disjungsi

Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):

: Merupakan lambang operasi untuk negasi
: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk implikasi
: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi
1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan

Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “” atau “”.

Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar.
Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:

p
B S	SB

B = benar
S = salah

Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!

1. : kayu memuai bila dipanaskan (S)
: kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
2. : 3 bilangan positif (B)
: (cara mengingkar seperti ini salah)
3 bilangan negatif
(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)
2) Pernyataan Majemuk
Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.
Contoh: disebut konjungsi
disebut disjungsi
disebut Implikasi
disebut biimplikasi
3) Konjungsi ()

Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.

Dengan tabel kebenaran

B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh:
1. : 5 bilangan prima (B)
: 5 bilangan ganjil (B)
: 5 bilangan prima dan ganjil (B)
2. : (B)
: (B)
: dan (B)
4) Disjungsi/ Alternasi ()
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)
Dengan tabel kebenaran

B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh:
1. : 1 akar persamaan (B)
: -1 akar persamaan (B)
: 1 atau -1 akar persamaan (B)
2. : Bogor di Jawa barat (B)
: Bogor itu kota propinsi (S)
: Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)
5) Implikasi/ Kondisional ()
boleh dibaca: p maka q
q hanya jika p
p syarat perlu untuk q
q syarat cukup untuk p
p disebut anteseden atau hipotesis
q disebut konsekuen atau konklusi
Implikasi bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
Dengan tabel kebenaran

B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Contoh:
1. Jika , maka (B)
(B) (B)
2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang (B)
(S) (S)
6) Biimplikasi atau Bikondisional ()
boleh dibaca: p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)
jika p maka q, dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup untuk q
q syarat perlu dan cukup untuk p
biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.
Dengan tabel kebenaran

B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

Contoh:
1. jika dan hanya jika (B)
(B) (B)
2. jika dan hanya jika (S)
(B) (S)
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.
Implikasi :
Inversnya :
Konversnya :
Kontraposisinya :
Contoh:
Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas
Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas
Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring
Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring
Dengan tabel kebenaran:

				Implikasi	Invers	Konvers	Kontraposisi
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Dari tabel di atas terlihat bahwa implikasi mempunyai nilai kebenaran sama dengan kontraposisi, dan nvers dengan konvers i. Sehingga dapat kita katakan bahwa implikasi setara dengan kontraposisi dan invers setara dengan konvers. Bisa kita tulis:


Catatan:
“” artinya ekivalen
Contoh:
Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”
Jawab:
Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”
Penarikan Kesimpulan (Inferensi)
1) Pengertian Argumen
Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!
1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)
Harga barang naik (premis 2)
Jadi permintaan barang turun (konklusi)
2. Jika , maka (premis 1)
(premis 2)
Jadi (konklusi)
Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:

a) Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”


b) Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).


2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma


Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.


1. Modus ponens


Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.


Bentuknya sebagai berikut:


(premis 1) berupa implikasi


(premis 2) berupa anteseden


——–


(konklusi)


Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui tabel kebenaran.

B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Argumentasi ini sah karena untuk premis
dan benar, konklusi juga benar.

Contoh:


Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun


Harga barang naik


Jadi permintaan barang turun


3. Modus tollens


Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.


Bentuknya sebagai berikut:


(premis 1) berupa implikasi


(premis 2) berupa negasi dari konsekuen


———-


(konklusi)


Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

B	B	S	S	B
B	S	S	B	S
S	B	B	S	B
S	S	B	B	B

Argumen ini sah, karena untuk premis
dan benar, konklusi juga benar.

Contoh:


Persamaan
, , maka dan berlainan

dan
tidak berlainan

Jadi persamaan
,

4. Silogisma


Bentuknya sebagai berikut:


(premis 1) berupa implikasi


(premis 2) berupa implikasi


———-


(konklusi)


Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:

B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S
B	S	B	S	B	B
B	S	S	S	B	S
S	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B

Argumen ini sah, karena untuk premis
dan benar, konklusi

juga benar.


Contoh:


Jika
, maka

Jika
, maka

Jadi jika
, maka

F.  MENERAPKAN LOGIKA MATEMATIKA DALAM 

     PEMECAHAN DALAM   PEMECAHAN MASALAH YANG

     BERKAITAN DENGAN PERNYATAAN MAJEMUK  DAN

     PERNYATAAN BERKUANTOR.

A. Mendiskripsikan Pernyataan dan bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka).

1. Pernyataan

                      1.1. Pengertian Pernyataan .

Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah.

      1.2. Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan

                    Dalam matematika , pernyataan-pernyataan dengan huruf kecil,seperti a , b ,

             p dan q.Perhatikan contoh berikut !

       1.3. Kalimat Terbuka.

                     Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga

              belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Kalimat terbuka

              tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnyadiganti dengan

              suatu konstanta.

              Contoh :

a)      Kalimat terbuka : x + 5 = 9

Jika variabelnya diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 (pernyataan benar)

b)      Jika variabelnya diganti dengan 7 maka 7 + 5 = 12 (Pernyataan salah)

B. Mendeskripsikan, Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi Dan

     Ingkaranya.

B.1. Pernyataan Majemuk.

                 Apabila suatu pernyataan terdiri lebih dari satu pernyataan maka diantara satu

        pernyataan dengan pernyataan lainnya dibutuhkan suatu kata penghubung sehingga

        diperoleh suatu pernyataan majemuk.

                  Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu

         ingkaran (negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau),implikasi(jika…maka…)

         dan biimplikasi (jika dan hanya jika).

Operasi Logika	Penghubung	Lambang
Ingkaran	Tidak, non	~ atau -
Konjungsi	Dan
Disjungsi	Atau
Implikasi	Jika….maka….
Biimplikasi	Jika dan hanya jika

         Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut operasi dalam

         logika.Simbol-simbol dari operasi dalam logika diberikan dalam tabel berikut.

Ingkaran atau Negasi atau penyangkalan

Nilai kebenaran dapat dituliskan dalam bentuk tabel yang dinamakan tabel kebenaran seperti berikut.

p	~ p
B S	S B

1.2. Operasi Konjungsi

       Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang dikenakan pada dua

       pernyataan) yang dilambangkan dengan tanda “”. Dengan operasi ini dua

       pernyataan dihubungkan dengan kata “ dan “.

       Jika p dan q dua pernyataan , maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya

       bernilai benar, sebaliknya pq bernilai salah jika salah satu dari p atau q bernilai

       salah atau keduanya salah.

Tabel nilai kebenaran dari operasi konjungsi.

                  

p	q	pq
B B S S	B S B S	B S S S

1.3. Operasi Disjungsi

       Operasi disjungsi juga merupakan operasi binary yang dilambangkan dengan tanda 

       ””. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata

        hubungan “atau”.

        Jika p dan q dua pernyataan maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya

        bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar, sebaliknya pq 

       bernilai salah jika keduanya bernilai salah.            

         Tabel nilai kebenaran Disjungsi

p	q	pq
B B S S	B S B S	B B B S

1.4. Operasi Implikasi.

        Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang

         menggunakan kata hubung “ jika …. Maka ….” Yang dilambangkan “ “.

         Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis  pq dan dibaca “ jika p maka q”.

         Pernyataan bersyarat pq juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p adalah

         syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”.

         Dalam pernyataan pq

         p disebut hipotesa / anteseden / sebab

         q disebut koklusi / konequen / akibat

         Jika p dan q dua buah pernyataan maka pq salah jika p benar dan q

         salah,dalam kemungkinan lainnya pq benar.

          Tabel nilai kebenaran operasi implikasi

p	q	pq
B B S S	B S B S	B S B B

1.5. Operasi Biimplikasi ( Bikondisional).

       Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung  “……jika

       dan hanya jika …..” dinotasikan  “” . 

       Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis  p  q  dibaca p jika dan hanya jika q.

       Pernyataan  p  q  dapat juga dibaca :

1)      p equivalent q

2)      p adalah syarat perlu dan cukup bagi q

Jika  pdan q dua buah pernyatan maka  p  q  benar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p  q  salah bila salah satu salah , atau salah satu benar .

       Tabel nilai kebenaran operasi Biimplikasi.

           

p	q	pq
B B S S	B S B S	B S S B

1.6. Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk.

       Dari pernyataan-pernyataan tunggal  p,  q,  r,  . . . dan dengan menggunakan operasi-opersi

       pernyataan  negasi (~), konjungsi (), disjungsi (), implikasi () dan biimplikasi ()

       dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit.

        Contoh : 1)  ~( p  ~q)

               2)  ~

        3) 

       Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan

       pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan

       biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai

       kebenaran pernyataanmajemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut .

       Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk  ~ ( p  ~q ).

        Jawab  :  

           

p	q	~q	( pq )	~ ( p  ~q ).
B B S S	B S B S	S B S B	B B S B	S S B S

        Jadi nilai kebenaran pernyataan majemuk  ~ ( p  ~q ) adalah  S  S B S

C. Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan Kontraposisi

       Dari suatu pernyataan bersyarat  “ p q ” yang diketahui dapat dibuat pernyataan lain

       sebagai berikut :

1)       q   p    disebut pernyataan Konvers dari p q

2)      ~p  ~q  disebut pernyataan Invers dari p q

3)      ~q  ~p  disebut pernyataan Kontraposisi dari p q

Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen p dan q, hubungan nilai kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi dengan implikasi semula, dapat ditunjukkan dengan memakai tabel kebenaran .

Tabel hubungan nilai kebenaran q   p, ~p  ~q , ~q  ~p  dengan  p q

				Implikasi	Konvers	Invers	Kontraposisi
p	q	~p	~q	p q	q   p	~p  ~q	~q  ~p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

        Dari tabel diatas ternyata :

Suatu implikasi yang salah konversnya benar, tetapi implikasinya yang benar

C.1. Negasi Pernyataan Majemuk

       Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi

       pernyataan majemuk pada tabel berikut ini:

Operasi	Lambang	Negasi
Konjungsi
Disjungsi
Implikasi
Biimplikasi		atau

       Contoh : Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut !

D. Menerapkan Modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme Dalam Menarik

     Kesimpulan

            Dasar-dasar logika matematika yang telah kita pelajari pada subbab terdahulu akan diterapkan lebih lanjut dalam proses penarikan kesimpulan . Suatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataanyang dikeahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi. Kalau konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah.Sebaliknya, kalau konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar.

            Dalam subbab ini kita akan mempelajari beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.

D.1. Modus Ponens

Jika  benar dan p benar maka q benar.

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :

    . . . . . . premis 1

p              . . . . . . premis 2

                 . . . . .  kesimpulan / konklusi

       Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai

      . Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi

       merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan

       majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari

       pernyataan-pernyataan komponennya.

       Tabel nilai kebenaran dari

p	q
B	B	B	B	B
B	S	S	S	B
S	B	B	S	B
S	S	B	S	B

       Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa  merupakan

       tautologi,jadi argumen tersebut sah.

D.2. Modus Tollens

Jika  benar dan  benar maka p benar

Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:

 . . . . . premis 1

~q        . . . . . premis  2

      ~p    . . . . . . kesimpulan / konlusi

   

       Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai ,sah

       atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut !

        

       Tabel nilai kebenaran

      

p	q	~p	~q
B	B	S	S	B	S	B
B	S	S	B	S	S	B
S	B	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B

       Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwamerupakan tautologi. Jadi

       modus tollens merupakan argumentasi yang sah .

D.3. Silogisma

Dari premis-premis dan dapat ditarik konklusi . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :

 . . . . .       premis 1

 . . . . .       premis 2

. . .        kesimpulan / konklusi

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai  sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :

Tabel nilai kebenaran .

p	q	r
B	B	B	B	B	B	B	B
B	B	S	B	S	S	S	B
B	S	B	S	B	B	S	B
B	S	S	S	B	S	S	B
S	B	B	B	B	B	B	B
S	B	S	B	S	B	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B
S	S	S	B	B	B	B	B

     Dari tabel pada kolom (8) tampak bahwa  merupakan

     tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.

A.     majemuk

1.     Konjungsi

adalah kalimat majemuk yang kata hubungnya dan, tetapi, meskipun , dan sejenisnya

Rumus penulisan : p  q, dibaca p dan q

p  q bernilai benar jika p dan q bernilai benar.

Tabel kebenaran :

p	q	p  q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Contoh :

a.     2 +3 = 5 dan 5 – 4 = 1 (konjungsi bernilai benar)

b.     Setiap manusia pasti akan mati tetapi matahari terbit dari barat. (Konjungsi bernilai salah)

2.       Disjungsi

adalah Kalimat majemuk yang menggunakan kata hubung atau .

Disjungsi terbagi 2 macam :

1.     Disjungsi inklusif

adalah disjungsi dimana dua kejadian dapat terjadi sekaligus dalam waktu bersamaan.

Rumus penulisan :

p  q , dibaca p atau q

p  q bernilai salah hanya jika p dan q bernilai salah

Tabel kebenaran :

p	q	p  q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh :

a. Saya makan roti sedangkan adik minum susu

b. 2+3 = 10 tetapi Gogon makan soto

c. Ica sedang berenang dan makan kacang

2.     Disjungsi Eksklusif

adalah disjungsi dimana dua kejadian tidak dapat terjadi dalam waktu bersamaan

rumus penulisan :

p  q , dibaca p atau q

p  q bernilai benar jika hanya satu pernyataan bernilai benar.

Tabel kebenaran :

p	q	p  q
B	B	S
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Contoh :

a.     Saya lahir di Surabaya atau Jakarta

b.     Ani berdiri atau duduk

Masalah Rangkaian seri dan Paralel pada saklar

Konjungsi untuk rangkaian seri

Disjungsi inklusif untuk rangkaian parallel

Contoh :

1. 

Dapat ditulis p  q  r

2. 

Dapat ditulis p  q  r

3.    

Dapat ditulis p

4.     dapat digambar :