ANDES NIRVANA IMANDIKA
X-F / 04
REMIDIAL MATEMATIKA
SEMESTER II
SMAN 1 TUREN
BAB
Pernyataan Majemuk
Konjungsi
Dan disjungsi
Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):
: Merupakan lambang operasi untuk negasi : Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk implikasi
: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi
1) Negasi (Ingkaran) Sebuah Pernyataan
Dari sebuah pernyataan tunggal (atau majemuk), kita bisa membuat sebuah pernyataan baru berupa “ingkaran” dari pernyataan itu. “ingkaran” disebut juga “negasi” atau “penyangkalan”. Ingkaran menggunakan operasi uner (monar) “” atau “”.
Jika suatu pernyataan p benar, maka negasinya p salah, dan jika sebaliknya pernyataan p salah, maka negasinya p benar. Definisi tersebut dinyatakan dalam tabel sebagai berikut:
p | |
B S | SB |
S = salah
Perhatikan cara membuat ingkaran dari sebuah pernyataan serta menentukan nilai kebenarannya!
1. : kayu memuai bila dipanaskan (S) : kayu tidak memuai bila dipanaskan (B)
2. : 3 bilangan positif (B)
: (cara mengingkar seperti ini salah)
3 bilangan negatif
(seharusnya) 3 bukan bilangan positif (S)
2) Pernyataan Majemuk
Pernyatan majemuk adalah pernyataan baru yang dibentuk dengan merantgkaikan pernyataan-pernyataan tunggal dengan kata sambung logika.
Contoh: disebut konjungsi
disebut disjungsi
disebut Implikasi
disebut biimplikasi
3) Konjungsi ()
Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah.
Dengan tabel kebenaran B | B | B |
B | S | S |
S | B | S |
S | S | S |
1. : 5 bilangan prima (B)
: 5 bilangan ganjil (B)
: 5 bilangan prima dan ganjil (B)
2. : (B)
: (B)
: dan (B)
4) Disjungsi/ Alternasi ()
Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif)
Dengan tabel kebenaran
B | B | B |
B | S | B |
S | B | B |
S | S | S |
1. : 1 akar persamaan (B)
: -1 akar persamaan (B)
: 1 atau -1 akar persamaan (B)
2. : Bogor di Jawa barat (B)
: Bogor itu kota propinsi (S)
: Bogor di Jawa Barat atau ibu kota propinsi (B)
5) Implikasi/ Kondisional ()
boleh dibaca: p maka q
q hanya jika p
p syarat perlu untuk q
q syarat cukup untuk p
p disebut anteseden atau hipotesis
q disebut konsekuen atau konklusi
Implikasi bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah.
Dengan tabel kebenaran
B | B | B |
B | S | S |
S | B | B |
S | S | B |
1. Jika , maka (B)
(B) (B)
2. Jika manusia bersayap , maka kita bisa terbang (B)
(S) (S)
6) Biimplikasi atau Bikondisional ()
boleh dibaca: p jika dan hanya jika q (disingkat “p jhj q”)
jika p maka q, dan jika q maka p
p syarat perlu dan cukup untuk q
q syarat perlu dan cukup untuk p
biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah.
Dengan tabel kebenaran
B | B | B |
B | S | S |
S | B | S |
S | S | B |
1. jika dan hanya jika (B)
(B) (B)
2. jika dan hanya jika (S)
(B) (S)
Konvers, Invers, dan Kontraposisi
Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.
Implikasi :
Inversnya :
Konversnya :
Kontraposisinya :
Contoh:
Implikasi : Jika harimau bertaring, maka ia binatang buas
Inversnya : Jika harimau tidak bertaring, maka ia bukan binatang buas
Konversnya : Jika harimau binatang buas, maka ia bertaring
Kontraposisinya : Jika harimau bukan binatang buas, maka ia tidak bertaring
Dengan tabel kebenaran:
Implikasi | Invers | Konvers | Kontraposisi | ||||
B | B | S | S | B | B | B | B |
B | S | S | B | S | B | B | S |
S | B | B | S | B | S | S | B |
S | S | B | B | B | B | B | B |
Catatan:
“” artinya ekivalen
Contoh:
Buatlah pernyataan yang setara dengan pernyataan: “jika ia benar-benar mencuri, maka pada saat pencurian harus berada di tempat ini.”
Jawab:
Implikasi setara dengan kontraposisi. Maka pernyataan itu dapat diubah menjadi, “jika pada saat pencurian tidak berada di tempat itu, maka ia tidak mencuri.”
Penarikan Kesimpulan (Inferensi)
1) Pengertian Argumen
Perhatikan beberapa contoh argumen berikut ini!
1. Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun (premis 1)
Harga barang naik (premis 2)
Jadi permintaan barang turun (konklusi)
2. Jika , maka (premis 1)
(premis 2)
Jadi (konklusi)
Dari contoh-contoh di atas, maka dapat kita rumuskan:
a) Argumen adalah serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan-ungkapan pernyataan “penarikan kesimpulan”
b) Argumen terdiri dari dua kelompok pernyatan, yaitu premis (pernyataan-pernyataan sebelum kesimpulan) dan sebuah konklusi (kesimpulan).
2) Modus ponens, modus tollens, dan sillogisma
Sekarang kita akan membahas 3 bentuk argumentasi yang sah, yaitu modus ponens, modus tollens, dan sillogisma.
1. Modus ponens
Modus ponens disebut juga kaidah pengasingan.
Bentuknya sebagai berikut:
(premis 1) berupa implikasi
(premis 2) berupa anteseden
——–
(konklusi)
Keabsahan (sah atau tidaknya) sebuah argumen dapat dilihat melalui tabel kebenaran.
B | B | B |
B | S | S |
S | B | B |
S | S | B |
Argumentasi ini sah karena untuk premis
dan benar, konklusi juga benar.
Contoh:
Jika harga barang naik, maka permintaan barang turun
Harga barang naik
Jadi permintaan barang turun
3. Modus tollens
Modus tollens disebut juga kaidah penolakan.
Bentuknya sebagai berikut:
(premis 1) berupa implikasi
(premis 2) berupa negasi dari konsekuen
———-
(konklusi)
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
B | B | S | S | B |
B | S | S | B | S |
S | B | B | S | B |
S | S | B | B | B |
Argumen ini sah, karena untuk premis
dan benar, konklusi juga benar.
Contoh:
Persamaan
, , maka dan berlainan
dan
tidak berlainan
Jadi persamaan
,
4. Silogisma
Bentuknya sebagai berikut:
(premis 1) berupa implikasi
(premis 2) berupa implikasi
———-
(konklusi)
Keabsahannya diperlihatkan dengan tabel kebenaran berikut:
B | B | B | B | B | B |
B | B | S | B | S | S |
B | S | B | S | B | B |
B | S | S | S | B | S |
S | B | B | B | B | B |
S | B | S | B | S | B |
S | S | B | B | B | B |
S | S | S | B | B | B |
Argumen ini sah, karena untuk premis
dan benar, konklusi
juga benar.
Contoh:
Jika
, maka
Jika
, maka
Jadi jika
, maka
F. MENERAPKAN LOGIKA MATEMATIKA DALAM
PEMECAHAN DALAM PEMECAHAN MASALAH YANG
BERKAITAN DENGAN PERNYATAAN MAJEMUK DAN
PERNYATAAN BERKUANTOR.
A. Mendiskripsikan Pernyataan dan bukan Pernyataan (Kalimat Terbuka).
1. Pernyataan
1.1. Pengertian Pernyataan .
Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, akan tetapi tidak sekaligus benar dan salah.
1.2. Lambang dan nilai kebenaran suatu pernyataan
Dalam matematika , pernyataan-pernyataan dengan huruf kecil,seperti a , b ,
p dan q.Perhatikan contoh berikut !
1.3. Kalimat Terbuka.
Kalimat terbuka adalah kalimat yang masih mengandung variabel, sehingga
belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah). Kalimat terbuka
tersebut dapat diubah menjadi bentuk pernyataan, jika variabelnyadiganti dengan
suatu konstanta.
Contoh :
a) Kalimat terbuka : x + 5 = 9
Jika variabelnya diganti dengan 4 maka 4 + 5 = 9 (pernyataan benar)
b) Jika variabelnya diganti dengan 7 maka 7 + 5 = 12 (Pernyataan salah)
B. Mendeskripsikan, Ingkaran, Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi Dan
Ingkaranya.
B.1. Pernyataan Majemuk.
Apabila suatu pernyataan terdiri lebih dari satu pernyataan maka diantara satu
pernyataan dengan pernyataan lainnya dibutuhkan suatu kata penghubung sehingga
diperoleh suatu pernyataan majemuk.
Untuk Logika matematika ada 5 macam penghubung pernyataan yaitu
ingkaran (negasi) (tidak), konjungsi (dan), disjungsi (atau),implikasi(jika…maka…)
dan biimplikasi (jika dan hanya jika).
Operasi Logika | Penghubung | Lambang |
Ingkaran | Tidak, non | ~ atau - |
Konjungsi | Dan | |
Disjungsi | Atau | |
Implikasi | Jika….maka…. | |
Biimplikasi | Jika dan hanya jika |
Ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut operasi dalam
logika.Simbol-simbol dari operasi dalam logika diberikan dalam tabel berikut.
Ingkaran atau Negasi atau penyangkalan
Nilai kebenaran dapat dituliskan dalam bentuk tabel yang dinamakan tabel kebenaran seperti berikut.
p | ~ p |
B S | S B |
1.2. Operasi Konjungsi
Operasi konjungsi merupakan operasi biner (operasi yang dikenakan pada dua
pernyataan) yang dilambangkan dengan tanda “”. Dengan operasi ini dua
pernyataan dihubungkan dengan kata “ dan “.
Jika p dan q dua pernyataan , maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya
bernilai benar, sebaliknya pq bernilai salah jika salah satu dari p atau q bernilai
salah atau keduanya salah.
Tabel nilai kebenaran dari operasi konjungsi.
p | q | pq |
B B S S | B S B S | B S S S |
1.3. Operasi Disjungsi
Operasi disjungsi juga merupakan operasi binary yang dilambangkan dengan tanda
””. Operasi ini menggabungkan dua pernyataan menjadi satu dengan kata
hubungan “atau”.
Jika p dan q dua pernyataan maka pq bernilai benar jika p dan q keduanya
bernilai benar atau salah salah satu dari p atau q bernilai benar, sebaliknya pq
bernilai salah jika keduanya bernilai salah.
Tabel nilai kebenaran Disjungsi
p | q | pq |
B B S S | B S B S | B B B S |
1.4. Operasi Implikasi.
Operasi implikasi (kondisional) adalah operasi penggabungan dua pernyataan yang
menggunakan kata hubung “ jika …. Maka ….” Yang dilambangkan “ “.
Implikasi dari pernyataan p dan q ditulis pq dan dibaca “ jika p maka q”.
Pernyataan bersyarat pq juga dapat dibaca “ p hanya jika q” atau “ p adalah
syarat cukup bagi q atau “ q adalah syarat perlu bagi p”.
Dalam pernyataan pq
p disebut hipotesa / anteseden / sebab
q disebut koklusi / konequen / akibat
Jika p dan q dua buah pernyataan maka pq salah jika p benar dan q
salah,dalam kemungkinan lainnya pq benar.
Tabel nilai kebenaran operasi implikasi
p | q | pq |
B B S S | B S B S | B S B B |
1.5. Operasi Biimplikasi ( Bikondisional).
Biimplikasi yaitu pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung “……jika
dan hanya jika …..” dinotasikan “” .
Biimplikasi dari pernyataan p dan q ditulis p q dibaca p jika dan hanya jika q.
Pernyataan p q dapat juga dibaca :
1) p equivalent q
2) p adalah syarat perlu dan cukup bagi q
Jika pdan q dua buah pernyatan maka p q benar bila kedua pernyataan tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama, sebaliknya p q salah bila salah satu salah , atau salah satu benar .
Tabel nilai kebenaran operasi Biimplikasi.
p | q | pq |
B B S S | B S B S | B S S B |
1.6. Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Majemuk.
Dari pernyataan-pernyataan tunggal p, q, r, . . . dan dengan menggunakan operasi-opersi
pernyataan negasi (~), konjungsi (), disjungsi (), implikasi () dan biimplikasi ()
dapat disusun suatu pernyataan majemuk yang lebih rumit.
Contoh : 1) ~( p ~q)
2) ~
3)
Nilai kebenaran pernyataan majemuk seperti itu dapat ditentukan dengan menggunakan
pertolongan tabel kebenaran dasar untuk negasi, konjungsi, disjungsi , implikasi dan
biimplikasi yang telah dibahas di depan.Untuk memahami cara-cara menentukan nilai
kebenaran pernyataanmajemuk yang lebih rumit ,perhatikan contoh berikut .
Contoh 1: Tentukan nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ ( p ~q ).
Jawab :
p | q | ~q | ( pq ) | ~ ( p ~q ). |
B B S S | B S B S | S B S B | B B S B | S S B S |
Jadi nilai kebenaran pernyataan majemuk ~ ( p ~q ) adalah S S B S
C. Mendeskripsikan Invers, Konvers Dan Kontraposisi
Dari suatu pernyataan bersyarat “ p q ” yang diketahui dapat dibuat pernyataan lain
sebagai berikut :
1) q p disebut pernyataan Konvers dari p q
2) ~p ~q disebut pernyataan Invers dari p q
3) ~q ~p disebut pernyataan Kontraposisi dari p q
Untuk semua kemungkinan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan komponen p dan q, hubungan nilai kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi dengan implikasi semula, dapat ditunjukkan dengan memakai tabel kebenaran .
Tabel hubungan nilai kebenaran q p, ~p ~q , ~q ~p dengan p q
Implikasi | Konvers | Invers | Kontraposisi | ||||
p | q | ~p | ~q | p q | q p | ~p ~q | ~q ~p |
B | B | S | S | B | B | B | B |
B | S | S | B | S | B | B | S |
S | B | B | S | B | S | S | B |
S | S | B | B | B | B | B | B |
Dari tabel diatas ternyata :
Suatu implikasi yang salah konversnya benar, tetapi implikasinya yang benar
C.1. Negasi Pernyataan Majemuk
Untuk menentukan negasi dari pernyataan majemuk dapat digunakan sifat-sifat negasi
pernyataan majemuk pada tabel berikut ini:
Operasi | Lambang | Negasi |
Konjungsi | ||
Disjungsi | ||
Implikasi | ||
Biimplikasi | atau |
Contoh : Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut !
D. Menerapkan Modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme Dalam Menarik
Kesimpulan
Dasar-dasar logika matematika yang telah kita pelajari pada subbab terdahulu akan diterapkan lebih lanjut dalam proses penarikan kesimpulan . Suatu proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataanyang dikeahui (disebut premis), Kemudian dengan memakai prinsip logika dapat diturunkan suatu pernyataan baru yang ditarik dari premis-premis semula (disebut kesimpulan / konklusi). Penarikan seperti itu disebut argumentasi. Kalau konjungsi dari premis-premis berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan berlaku atau sah.Sebaliknya, kalau konjungsi dari premis-premis tidak berimplikasi konklusi maka argumentasi itu dikatakan tidak sah. Jadi suatu argumentasi dikatakan sah kalau premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar.
Dalam subbab ini kita akan mempelajari beberapa cara penarikan kesimpulan, diantaranya adalah Modus Ponens, Modus Tollens, dan Silogisme.
D.1. Modus Ponens
Jika benar dan p benar maka q benar.
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut :
. . . . . . premis 1
p . . . . . . premis 2
. . . . . kesimpulan / konklusi
Dalam bentuk implikasi, argumentasi tersebut dapat dituliskan sebagai
. Argumentasi ini dikatakan sah kalau pernyataan implikasi
merupakan tautologi. Tautologi adalah sebuah pernyataan
majemuk yang selalu benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari
pernyataan-pernyataan komponennya.
Tabel nilai kebenaran dari
p | q | |||
B | B | B | B | B |
B | S | S | S | B |
S | B | B | S | B |
S | S | B | S | B |
Dari tabel pada kolom (5) tampak bahwa merupakan
tautologi,jadi argumen tersebut sah.
D.2. Modus Tollens
Jika benar dan benar maka p benar
Skema argumen dapat ditulis sebagai berikut:
. . . . . premis 1
~q . . . . . premis 2
~p . . . . . . kesimpulan / konlusi
Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat dituliskan sebagai ,sah
atau tidaknya modus tollens dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut !
Tabel nilai kebenaran
p | q | ~p | ~q | |||
B | B | S | S | B | S | B |
B | S | S | B | S | S | B |
S | B | B | S | B | S | B |
S | S | B | B | B | B | B |
Dari tabel pada kolom 7 tampak bahwamerupakan tautologi. Jadi
modus tollens merupakan argumentasi yang sah .
D.3. Silogisma
Dari premis-premis dan dapat ditarik konklusi . Penarikan kesimpulan seperti ini disebut kaidah silogisma . Skema argumnya dapat dinyatakan sebagai berikut :
. . . . . premis 1
. . . . . premis 2
. . . kesimpulan / konklusi
Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat dituliskan sebagai sah atau tidaknya silogisme dapat diuji dengan tabel kebenaran sebagai berikut :
Tabel nilai kebenaran .
p | q | r | |||||
B | B | B | B | B | B | B | B |
B | B | S | B | S | S | S | B |
B | S | B | S | B | B | S | B |
B | S | S | S | B | S | S | B |
S | B | B | B | B | B | B | B |
S | B | S | B | S | B | S | B |
S | S | B | B | B | B | B | B |
S | S | S | B | B | B | B | B |
Dari tabel pada kolom (8) tampak bahwa merupakan
tautologi. Jadi silogisme merupakan argumentasi yang sah.
A. majemuk
1. Konjungsi
adalah kalimat majemuk yang kata hubungnya dan, tetapi, meskipun , dan sejenisnya
Rumus penulisan : p q, dibaca p dan q
p q bernilai benar jika p dan q bernilai benar.
Tabel kebenaran :
p | q | p q |
B | B | B |
B | S | S |
S | B | S |
S | S | S |
Contoh :
a. 2 +3 = 5 dan 5 – 4 = 1 (konjungsi bernilai benar)
b. Setiap manusia pasti akan mati tetapi matahari terbit dari barat. (Konjungsi bernilai salah)
2. Disjungsi
adalah Kalimat majemuk yang menggunakan kata hubung atau .
Disjungsi terbagi 2 macam :
1. Disjungsi inklusif
adalah disjungsi dimana dua kejadian dapat terjadi sekaligus dalam waktu bersamaan.
Rumus penulisan :
p q , dibaca p atau q
p q bernilai salah hanya jika p dan q bernilai salah
Tabel kebenaran :
p | q | p q |
B | B | B |
B | S | B |
S | B | B |
S | S | S |
Contoh :
a. Saya makan roti sedangkan adik minum susu
b. 2+3 = 10 tetapi Gogon makan soto
c. Ica sedang berenang dan makan kacang
2. Disjungsi Eksklusif
adalah disjungsi dimana dua kejadian tidak dapat terjadi dalam waktu bersamaan
rumus penulisan :
p q , dibaca p atau q
p q bernilai benar jika hanya satu pernyataan bernilai benar.
Tabel kebenaran :
p | q | p q |
B | B | S |
B | S | B |
S | B | B |
S | S | S |
Contoh :
a. Saya lahir di Surabaya atau Jakarta
b. Ani berdiri atau duduk
Masalah Rangkaian seri dan Paralel pada saklar
Konjungsi untuk rangkaian seri
Disjungsi inklusif untuk rangkaian parallel
Contoh :
1.
Dapat ditulis p q r
2.
Dapat ditulis p q r
3.
Dapat ditulis p
4. dapat digambar :
Tidak ada komentar:
Posting Komentar